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  • Théorème de convergence monotone

    Formulaire de report

    Théorème

    Théorème de convergence monotone :
    1. Toute suite \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) croissante et majorée converge vers \(\sup\{u_n,n\geqslant0\}\)
    2. Toute suite \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) décroissante et minorée converge vers \(\inf\{u_n,n\geqslant0\}\)

    (Suite croissante, Suite décroissante, Suite majorée, Suite minorée)

    Exercice

    Soit \((u_n)\) la suite définie par : $$\begin{cases} u_{n+1}=u_ne^{-u_n}\\ u_0\gt 0\end{cases}$$
    Montrer que la suite est décroissante et minorée et montrer que \(u_n\longrightarrow0\)

    Définition de \(f\) et \(u_n\gt 0\)
    On pose \(f(x)=xe^{-x}\). \(f\) est positive sur \({\Bbb R}^+\). Donc, par récurrence, \(u_n\) est positif

    \((u_n)\) décroissante
    On a donc \(e^{-u_n}\lt 1\), et donc \(u_{n+1}\lt u_n\). Donc \((u_n)\) est décroissante

    On a \(u_{n+1}=f(u_n)\) avec \(f\) continue
    Alors, d'après le théorème de convergence monotone, \((u_n)\) converge et \(\ell\) est le point fixe de \(f\), donné par : $$\begin{align}&\ell=f(\ell)\\ \implies&\ell=\ell e^{-\ell}\\ \implies&1=e^{-\ell}\\ \implies&0=\ell\end{align}$$

    (Fonction exponentielle)

    Soit \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) la suite définie par \(u_0\in]0,1]\) et par la relation de récurrence : $$u_{n+1}=\frac{u_n}2+\frac{u_n^2}4$$
    En sachant que \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) est monotone et que \(\forall n\in{\Bbb N},0\lt u_n\leqslant1\), démontrer que la suite \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) est convergente et déterminer sa limite

    Application du th de la convergence monotone
    \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) est bornée et monotone, donc elle converge vers \(\ell\in{\Bbb R}\) d'après le théorème de convergence monotone

    Faire tendre la relation de récurrence vers l'infini
    De plus, en faisant tendre la relation de récurrence vers l'infini, on a : $$\begin{align}&\ell=\frac\ell2+\frac{\ell^2}4\\ \implies&1=\frac12+\frac\ell4\\ \implies&-\frac12=\frac\ell4\\ \implies&\ell=2\end{align}$$
    Or, ce n'est pas possible vu que \(0\lt u_n\leqslant1\)

    Vérifier les valeurs exclues

    On a divisé par \(\ell\), et en testant avec \(\ell=0\), la relation de récurrence est vérifiée.
    On a donc $$(u_n)_{n\in\Bbb N}\longrightarrow0$$

    Montrer que la suite \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) définie par \(u_0\in[0,\frac\pi2]\) et \(u_{n+1}=\sin(u_n)\) converge et déterminer sa limite

    Déterminons le sens de variation de la suite \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) :
    Comme \(\forall x\in[0,\frac\pi2]\),

    Soit \((u_n)_n\) une suite récurrente telle que $$u_{n+1}=1-\cos(u_n)$$sachant que \(\forall n\in{\Bbb N},u_n\in[0,1]\) et que \((u_n)_n\) est décroissante, montrer que \((u_n)_n\) tend vers \(0\)

    D'après le théorème de convergence monotone, la suite tend vers la solution \(\ell\) de $$\ell=1-\cos(\ell)$$\(\ell=0\) fonctionne et est dans le bon intervalle, c'est donc la limite de \((u_n)_n\) par unicité de la limite

    (Cosinus)


  • Rétroliens :
    • Permutation des termes d’une série
    • Sommation par paquets
    • Suite convergente
    • Suite croissante
    • Suite décroissante
    • Suites adjacentes
    • Théorème des valeurs intermédiaires
    • Théorème des équivalents